Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị y=\(\dfrac{x^2+mx+m+8}{x+1}\) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng d:\(6x-5y-1=0\).
Bài 1: Cho hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m-2\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành
Bài 2: Cho hàm số \(y=\dfrac{2x-2}{x+1}\) . Tìm m để đường thẳng d: \(y=2x+m\) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=\(\sqrt{5}\)
Bài 3: Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+2(m-1)x-3\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm) . Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung
Bài 4: Cho hàm số \(y=-x^3+2(m-1)x^2-(m^2-3m+2)x-4\)
(m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Bài 5: Cho hàm số \(y=-x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3m^2-1\) (1). Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O
1.
Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m< 3\)
2.
Pt hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)
\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)
\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)
3.
\(y'=x^2-2mx+2\left(m-1\right)\)
Hàm có 2 điểm cực trị nằm về cùng phía đối với trục tung khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb cùng dấu
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m-1\right)>0\\ac=1.2\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m+2>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>1\)
Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m-2 với m là tham số thực, có đồ thị là (C) . Tìm tất cả các giá trị của m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
A. m<2
B. m ≤ 3
C. m<3
D. m ≤ 2 .
Đạo hàm y’ = 3x2+6x+m. Ta có ∆ ' y ' = 9 - 3 m
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi ∆ ' y ' = 9 - 3 m > 0 ⇔ m < 3
Ta có
Gọi x1; x2 là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó
Theo định lí Viet, ta có
Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y1.y2<0
Chọn C.
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn
C m : x 2 + y 2 - 2 m x - 4 m y + 5 m 2 - 1 = 0
A. 1 < m < 5 3
B. - 1 < m < 5 3
C. 3 5 < m < 1
D. - 3 5 < m < 1
· Đường tròn
C m : x 2 + y 2 - 2 m x - 4 m y + 5 m 2 - 1 = 0
có tâm I ( m;2m ), bán kính R = 1.Ta có:
I B = 5 m 2 + 4 m + 8 = 5 m + 2 5 2 + 36 5 ≥ 6 5 > 1 = R
điểm B nằm ở phía ngoài đường tròn C m . Do đó điểm A nằm ở phía trong đường tròn C m , tức là:
L A < 1 = R ⇔ 5 m 2 - 8 m + 4 < 1 ⇔ 5 m 2 - 8 m + 3 < 0 ⇔ 3 5 < m < 1
Đáp án C
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đồ thị của hàm số y = x 3 3 − x 2 2 m + 2 + 2 m x + 1 có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu đồng thời chúng nằm về cùng một phía so với đường thẳng d : x + y − 1 = 0
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x 3 - 3 x 2 - m x + 2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y = x - 1 ( d )
A. m = 0
C. m = 2
D. m = - 9 2
Chọn A
[Phương pháp trắc nghiệm]
y ' = 3 x 2 - 6 x - m
Hàm số có 2 cực trị m > -3 , gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y ' = 0 ,
ta có: x 1 + x 2 = 2
Bấm máy tính
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Gọi I là trung điểm của AB
⇒ I ( 1 ; - m )
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Yêu cầu bài toán
Kết hợp với điều kiện thì m = 0
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
A..
B. .
C. .
D. .
Chọn B
PT hoành đồ giao điểm của (C) và trục hoành:
x3 + 3x2 + mx + m - 2 = 0 (1)
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox
PT (1) có 3 nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiêm phân biệt khác -1
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = 2 x 3 + 3 ( m - 1 ) x 2 + 6 m ( 1 - 2 m ) x có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình: y = - 4 x ( d )
A. m ∈ 1
B. m ∈ 0 ; 1
C. m ∈ 0 ; 1 2 ; 1
D. m ∈ 1 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 - ( m + 1 ) x 2 + ( m 2 - 2 ) x - m 2 + 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?
A. 4
B. 1
C. 3
D. 2
Chọn đáp án C.
Ta có y ' = 3 x 2 - 2 ( m + 1 ) x + m 2 - 2
trước tiên ta phải có phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về một phía đối với trục hoành là y x 1 . y x 2 > 0
⇔ y = 0 có đúng một nghiệm thực.
Thử trực tiếp các giá trị của m∈{−1,0,1,2} nhận các giá trị m∈{−1,0,2} để y = 0 có đúng một nghiệm thực.
Cho hàm số y = x 3 + 1 − 2 m x 2 + 2 2 − m x + 4. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
A. m > 2 m < − 2 .
B. − 2 < m < 2.
C. m ≥ 2 − 5 2 ≠ m ≤ − 2 .
D. m > 2 − 5 2 ≠ m < − 2 .
Đáp án D
Điều kiện để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành PT y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Xét PT
x 3 + 1 − 2 m x 2 + 2 2 − m x + 4 = 0 ⇔ x 3 + x 2 − 2 m x 2 + 2 m x + 4 x + 4 = 0 ⇔ x + 1 x 2 − 2 m x + 4 = 0
Để PT này có ba nghiệm phân biệt thì
Δ ' = m 2 − 4 > 0 − 1 2 − 2 m . − 1 + 4 ≠ 0 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞ m ≠ − 5 2